Cách Nhẩm Nghiệm Phương Trình Bậc 4

      339

Để giải phương trình bậc 4 trùng phương chúng ta có 2 phương pháp để giải, cách thứ nhất là đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc 2, cách thứ hai là đưa về phương trình tích.

Bạn đang xem: Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 4


Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax4 + bx2 + c = 0) và phương trình tích cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

* Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,...) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

- Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

* Ví dụ 1: Giải phương trình

a) (x - 3)(x2 - 3x + 2) = 0

b) x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0

° Lời giải:

a) (x - 3)(x2 - 3x + 2) = 0

⇔ x - 3 = 0 hoặc x2 - 3x + 2 = 0

+) x - 3 = 0 ⇔ x1 = 3

+) x2 - 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x2 = 1; x3 = c/a = 2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 = 3; x2 = 1; x3 = 2.

b) x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0

⇔ x2(x + 3) - 2(x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(x2 - 2) = 0

⇔ x + 3 = 0 hoặc x2 - 2 = 0

+) x + 3 = 0 ⇔ x1 = -3

+) x2 - 2 = 0 ⇔ 

*
 ; 
*

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

*

* Ví dụ 2 (Bài 36 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình

a) (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;

b) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0.

° Lời giải:

a) (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;

⇔ 3x2 – 5x + 1 = 0 hoặc x2 – 4 = 0

+)Giải: 3x2 – 5x + 1 = 0

- Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = (-5)2 – 4.3 = 13 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm: 

+)Giải: x2 – 4 = 0

⇔ (x - 2)(x + 2) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

 ; x3 = 2; x4 = -2

- Hay tập nghiệm của phương trình là: 

*

b) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0

⇔ (2x2 + x – 4 – 2x + 1)(2x2 + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ (2x2 – x – 3)(2x2 + 3x – 5) = 0

⇔ 2x2 – x – 3 = 0 hoặc 2x2 + 3x – 5 = 0

+) Giải: 2x2 – x – 3 = 0

- Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

Xem thêm: Cách Làm Dầu Gấc Không Cần Dầu Ăn, 1️⃣ 2 Vẫn Dinh Dưỡng, Thơm Ngon Tại Nhà

+) Giải: 2x2 + 3x – 5 = 0

- Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1 = -1; x2 = 3/2; x3 = 1; x4 = -5/2.

- Hay tập nghiệm của phương trình là: 

*

° Cách giải phương trình trùng phương ax4 +bx2 + c = 0 (a≠0).

* Phương pháp giải 1: Đặt ẩn phụ cho pt: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0) (1)

• Đặt t = x2 (t≥0), khi đó ta được phương trình at2 + bt + c = 0 (2)

- Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

- Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

- Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

• Cụ thể như sau:

- Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

*

- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

*

- Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có một một nghiệm kép dương hoặc 2 nghiệm trái dấu ⇔ hoặc 

*
 
*

- Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t1 = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

- Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0 (1)

- Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 3t2 + 10t + 3 = 0 (2)

- Giải (2): Có a = 3; b" = 5; c = 3 ⇒ Δ’ = 52 – 3.3 = 16 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 

*
 
*

- Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t1 = -1/3 2 = -3* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương