CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG BẰNG MÁY TÍNH

      335
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng lớn một số loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác minh bên trên

Nếu trường thọ số lượng giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

*

Thì giới hạn này Hotline là tích phân suy rộng của f(x) bên trên Bạn đang xem: Cách tính tích phân suy rộng bằng máy tính

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng lớn

*
là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là cực kì hoặc ko vĩnh cửu ta nói tích phân suy rộng

*
là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

*
là hội tụ;
*
là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

*

2.

*
.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

*

Ta có:

*
(*)

– Thứ nhất, Tính tích phân:

*

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

*

Thế vào (*) ta có:

*

(bởi

*
)

Vậy: I hội tụ và

*

1.2 Định nghĩa:

*

1.3 Tích phân quan lại trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:

*
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

*
1} " class="latex" /> thì tích phân quy tụ.

Nếu

*
thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

*
_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. khi đó:

*

Vậy chuỗi quy tụ.

Với s =1: theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.

Với s

*
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn chỉnh quy tụ, ngôi trường vừa lòng f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý đối chiếu 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) ở ở bên cạnh +∞ ( Có nghĩa là x đầy đủ lớn). khi đó:

Nếu
*
hội tụ thì tích phân
*
hội tụNếu
*
phân kỳ thì tích phân
*
phân kỳ.

Xem thêm:

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm với thuộc khả tích bên trên , với f(x) ≤ g(x) sống cạnh bên +∞ ( có nghĩa là x đầy đủ lớn).

Nếu

*

Nhận xét:

– Để xét sự quy tụ của tích phân

*
, ta buộc phải xuất bản hàm g(x) sao cho
*
. Nghĩa là, f(x) với g(x) là nhị lượng tương tự.

Muốn vậy, ta yêu cầu nhận diện với sửa chữa thay thế những Ngân hàng Ngoại thương VCB, VCL (Khi x → +∞ ) có vào f(x) bằng những VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, nên chú ý cả nhị hàm f(x) và g(x) cần thuộc khả tích bên trên

1.5 Các ví dụ: Xét sự quy tụ của những tích phân:

lấy ví dụ như 1

*
.

Rõ ràng: hàm

*
là hàm số dương, xác định cùng tiếp tục với đa số x ở trong
*
.

Khi

*
: lnx là VCL tuy thế không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta ko dùng tín hiệu so sánh 2.

Ta rất có thể sử dụng dấu hiệu so sánh 1. Muốn nắn vậy, đề xuất chặn hàm lnx. Ta dễ dãi có bất đẳng thức sau:

*

*

Vậy tích phân đã mang đến phân kỳ.( vì chưng tích phân

*
phân kỳ).

lấy ví dụ 3

*
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy:

Khi

*

*
1+x^2} \syên x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

*
1+x^2}} \slặng \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) với g(x) thuộc khả tích trên <1;+∞) nên

*
với
*
thuộc hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác:

*
quy tụ. (vì chưng s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 quy tụ.

lấy một ví dụ 4.

*
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

lúc

*
ta có:

*
x}1+x^2 \syên ổn \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) xác định với liên tiếp với tất cả

*
, còn g(x) ko xác định tại x = 0 nên ta chưa thể sử dụng tín hiệu đối chiếu 2 được.

Lúc kia, tách bóc I4 thành 2 tích phân ta có:

*
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– Do

*
x}1+x^2 " class="latex" /> xác định cùng thường xuyên trên <0;1> đề nghị
*
x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân khẳng định nên hội tụ.

*
x}1+x^2 dx \syên \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> yêu cầu quy tụ.